Visualizando sistemas de ecuaciones lineales


Contenido

  1. Sistemas de dos ecuaciones.

  2. Sistemas de tres ecuaciones (incluye gráficas tridimensionales interactivas).


Sistemas de dos ecuaciones con dos variables

El conjunto de valores (x,y) que resuelven una ecuación lineal forman una línea recta. Por lo tanto, los puntos que resuelvan al mismo tiempo dos ecuaciones lineales deben pertenecer a las dos líneas correspondientes. Tenemos entonces 3 casos:

Ejemplo de un sistema con solución única:

Este sistema tiene una única solución (x=0.667,y=1.667), porque la línea x-y=-1 intersecta a la línea  2x+y=3 en el punto (0.667,1.667):

Ejemplo de un sistema sin solución:

Este sistema no tiene solución, porque la línea x-y=-1 nunca intersecta a la línea 2x-2y=2 (de hecho, son paralelas):

Ejemplo de un sistema con un número infinito de soluciones:

Este sistema tiene un número infinito de soluciones porque la línea x-y=-1 intersecta a la línea 2x-2y=-2 en un número infinito de puntos (de hecho, son la misma línea):

 Contenido


Sistemas de tres ecuaciones con tres variables

El conjunto de valores (x,y,z) que resuelven una ecuación lineal forman un plano. Por lo tanto, los puntos que resuelvan al mismo tiempo tres ecuaciones lineales deben pertenecer a los tres planos correspondientes. Tenemos entonces 3 casos:

Ejemplo de un sistema con solución única  

Este sistema tiene una única solución (x=4, y=-3, z=1), que corresponde al punto (4,-3,1) donde se cruzan los tres planos:

 

Acción del usuario

Reacción de la gráfica

Arrastrar el cursor sobre la gráfica con el botón izquierdo del ratón oprimido.

Rota alrededor de un eje en la pantalla

Soltar el botón izquierdo del ratón mientras se arrastra el cursor sobre la gráfica.

Se queda girando alrededor de un eje en la pantalla

La tecla SHIFT oprimida junto con arrastre vertical del cursor sobre la gráfica.

Acercamiento (zoom)

La tecla SHIFT oprimida junto con arrastre horizontal del cursor sobre la gráfica.

Rota alrededor de un eje perpendicular a la pantalla

La tecla CONTROL oprimida junto con arrastre vertical del cursor sobre la gráfica.

Cambia la distancia focal (perspectiva)

Oprimir la tecla "s" mientras el cursor está sobre la gráfica.

Cambia entre una sola imagen, dos imágenes para efecto estéreo 3D con los ojos "al infinito" y dos imágenes para efecto estéreo 3D con los ojos cruzados .

La tecla CONTROL oprimida junto con arrastre horizontal del cursor sobre la gráfica.

Cambia "fuerza" del efecto estéreo 3D (ver tecla "s")

Oprimir la tecla HOME mientras el cursor está sobre la gráfica.

Recuperar configuración inicial

Para aprender a crear gráficas interactivas visita la página de Live3D: http://wwwvis.informatik.uni-stuttgart.de/~kraus/LiveGraphics3D/index.html

        

Ejemplo de un sistema sin solución  

Este sistema no tiene solución, porque no hay punto que pertenezca al mismo tiempo a los tres planos correspondientes:

 

Acción del usuario

Reacción de la gráfica

Arrastrar el cursor sobre la gráfica con el botón izquierdo del ratón oprimido.

Rota alrededor de un eje en la pantalla

Soltar el botón izquierdo del ratón mientras se arrastra el cursor sobre la gráfica.

Se queda girando alrededor de un eje en la pantalla

La tecla SHIFT oprimida junto con arrastre vertical del cursor sobre la gráfica.

Acercamiento (zoom)

La tecla SHIFT oprimida junto con arrastre horizontal del cursor sobre la gráfica.

Rota alrededor de un eje perpendicular a la pantalla

La tecla CONTROL oprimida junto con arrastre vertical del cursor sobre la gráfica.

Cambia la distancia focal (perspectiva)

Oprimir la tecla "s" mientras el cursor está sobre la gráfica.

Cambia entre una sola imagen, dos imágenes para efecto estéreo 3D con los ojos "al infinito" y dos imágenes para efecto estéreo 3D con los ojos cruzados .

La tecla CONTROL oprimida junto con arrastre horizontal del cursor sobre la gráfica.

Cambia "fuerza" del efecto estéreo 3D (ver tecla "s")

Oprimir la tecla HOME mientras el cursor está sobre la gráfica.

Recuperar configuración inicial

Para aprender a crear gráficas interactivas visita la página de Live3D: http://wwwvis.informatik.uni-stuttgart.de/~kraus/LiveGraphics3D/index.html

      

Ejemplo de un sistema con un número infinito de soluciones  

Este sistema tiene un número infinito de soluciones, porque los planos correspondientes se cruzan en un número infinito de puntos:

 

Acción del usuario

Reacción de la gráfica

Arrastrar el cursor sobre la gráfica con el botón izquierdo del ratón oprimido.

Rota alrededor de un eje en la pantalla

Soltar el botón izquierdo del ratón mientras se arrastra el cursor sobre la gráfica.

Se queda girando alrededor de un eje en la pantalla

La tecla SHIFT oprimida junto con arrastre vertical del cursor sobre la gráfica.

Acercamiento (zoom)

La tecla SHIFT oprimida junto con arrastre horizontal del cursor sobre la gráfica.

Rota alrededor de un eje perpendicular a la pantalla

La tecla CONTROL oprimida junto con arrastre vertical del cursor sobre la gráfica.

Cambia la distancia focal (perspectiva)

Oprimir la tecla "s" mientras el cursor está sobre la gráfica.

Cambia entre una sola imagen, dos imágenes para efecto estéreo 3D con los ojos "al infinito" y dos imágenes para efecto estéreo 3D con los ojos cruzados .

La tecla CONTROL oprimida junto con arrastre horizontal del cursor sobre la gráfica.

Cambia "fuerza" del efecto estéreo 3D (ver tecla "s")

Oprimir la tecla HOME mientras el cursor está sobre la gráfica.

Recuperar configuración inicial

Para aprender a crear gráficas interactivas visita la página de Live3D: http://wwwvis.informatik.uni-stuttgart.de/~kraus/LiveGraphics3D/index.html

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Autor: José Luis Gómez Muñoz

jose.luis.gomez@itesm.mx

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